Un caso particular del teorema de Dirichlet

Uno de los problemas clásicos en Teoría de Números es la ubicación de los números primos en el conjunto de los números naturales. El teorema de Dirichlet (1837) establece que, si a y n son números naturales coprimos, hay infinitos primos en la sucesión n + a, 2n + a, 3n + a, ···. Las demostraciones conocidas de este teorema son difíciles: la prueba original de Dirichlet usa teoría analítica de números y hay otras posteriores, más algebraicas, de Selberg y de Zassenhaus, por ejemplo. En algunos casos particulares, hay demostraciones de este teorema más elementales. Por ejemplo, la primera demostración conocida de la infinitud de números primos, que se encuentra en los Elementos de Euclides (siglo III a. C.), puede pensarse como un caso particular de este teorema para a=n=1. Otro caso similar es la siguiente demostración elemental de la infinitud de primos de la forma 4k +3 con k ∈ N: Si, además del 3, hubiese finitos primos p1,...,pr de esta forma (este conjunto no es vacío porque el 7 es uno de estos primos), consideremos m=4. p1.··· .pr + 3. Como el número impar m no es divisible por 3 ni por ninguno de los pi (1≤i≤r), cualquier primo que divida a m debe ser de la forma 4h+1 para h∈N. Luego 3≡m≡(4h1 +1).(4h2 +1).···(4ht +1)≡1 (mód 4) lo que es un absurdo que provino de suponer que había finitos primos de la forma 4k + 3. Una demostración similar puede usarse para probar que hay infinitos primos de la forma 6k +5. Para el caso particular a = 1, existen distintas demostraciones elementales del Teorema de Dirichlet (ver, por ejemplo, [2, 4, 5, 6, 8, 9]. En lo que sigue, daremos una demostración del Teorema de Dirichlet para el caso a = 1 que sólo usa aritmética elemental, polinomios en una variable y raíces de la unidad

PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE LOS NÚMEROS PRIMOS

El objetivo de este trabajo es probar el teorema de los números primos   En particular se analizará la prueba de Levinson, N. 1969 y como complemento las otras demostraciones que se encuentran como referencias.   El paso más importante es la demostración de la fórmula asintótica de Selberg, que establece     Por supuesto esto es una consecuencia inmediata del Teorema de los Números Primos. La genialidad de la demostración de esta fórmula asintótica es la que es completamente elemental

Prueba de Selberg del teorema de los números primos

Este trabajo tiene como propósito mostrar la prueba elemental al Teorema de los Números Primos dada por Atle Selberg. En primer lugar, veremos la teoría de las funciones aritméticas y cálculo de sumas parciales de que serán la base de la prueba. Posteriormente, deduciremos las estimaciones de Chebyshev que fueron las primeras aproximaciones al orden de π(x). Seguiremos viendo unas expresiones equivalentes que antes de encontrar la prueba elemental se demostró que el cumplimiento de estos implica el Teorema de los Números Primos y que fueron objeto de estudio para conseguir llegar a una prueba. Después demostraremos las fórmulas asintóticas que usó Atle Selberg para la demostración elemental del Teorema de los Números Primos y finalmente presentaremos la prueba elemental.This project is intended to show the elementary proof of Prime Number Theorem given by Atle Selberg. First of all, we shall see arithmetic function theory and partial sums calculation which will be the basis of the proof. Next, we shall deduce Chebyshev’s estimations that were the first approach to π(x)’s order. We will continue with some expressions equivalent to the Prime Number Theorem, that is the validity of anyone of them implies the Prime Number Theorem, which were studied to get a proof. Then, we will prove the asymptotic formulas used by Atle Selberg for his Prime Number Theorem elementary proof. Finally, we will show Selberg’s elementary proof.Universidad de Sevilla. Grado en Matemática

Riemann y los Números Primos

En el mes de noviembre de 1859, durante la presentación mensual de losinformes de la Academia de Berlín, el alemán Bernhard Riemann presentóun trabajo que cambiaría los designios futuros de la ciencia matemática. El tema central de su informe se centraba en los números primos, presentando el que hoy día, una vez demostrada la Conjetura de Poincaré, puede ser considerado el problema matemático abierto más importante. El presente artículo muestra en su tercera sección una traducción al castellano de dicho trabajo

Cómo demostrar en matemáticas

En su libro sobre la teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo, Paul J. Cohen (COHEN 1966, p2) se refiere a Brouwer en las siguientes palabras: " ... la escuela de Brouwer (lntuicionismo) sólo admitiría conjuntos finitos como objetos legítimos de estudio, y aún un número entero solo no se consideraría definido a menos que se diese una regla absolutamente determinada para computarlo (Por ejemplo, el conjunto cuyo elemento es 5 si el último Teorema de Fermat es verdadero y si es falso, no está bien definido de acuerdo con Brouwer)". No habría estado bien definido porque no se podía afirmar que el teorema de Fermat fuese verdadero ni que fuese falso. Lo de Brouwer tiene muchos años, aunque, como se sabe, es de nuestro siglo, pero lo de Cohen es de 1966. Veintinueve años más tarde, el enunciado de Brouwer ha cambiado de sentido

Utilización del teorema fundamental de la aritmética por maestros en formación en tareas de divisibilidad

Este trabajo muestra una investigación que estamos realizando, relativa al conocimiento matemático de futuros maestros sobre divisibilidad. En este capítulo presentamos resultados de las respuestas dadas por 37 futuros maestros a dos cuestiones sobre divisibilidad y teorema fundamental de la aritmética. Estos futuros maestros mostraron una utilización limitada de dicho teorema y manifestaron dificultades para determinar todos los factores-divisores de un número a partir de su descomposición canónica

Euler, números primos y la función zeta

En este articulo se muestran principalmente, la contribución de Leonhard Euler al surgimiento de la función ζ(x), y las primeras relaciones entre esta y los números primos